《說謊者酒吧》的博弈論討論

博弈論是現代數學的一個新分支，也是運籌學中的一個重要學科。

博弈論主要包括以下幾個要素：

1. 玩家：在競爭或遊戲中，每個擁有決策權的參與者稱為玩家。只有兩名玩家的遊戲稱為「雙人遊戲」，而超過兩名玩家的遊戲則稱為「多人遊戲」。

2. 策略：在遊戲中，每位玩家都有一整套可行的行動計劃。策略不僅僅是針對特定階段的計劃，而是指導整個行動的綜合計劃。如果玩家的策略數量是有限的，則稱為「有限遊戲」；否則，則稱為「無限遊戲」。

3. 報酬：遊戲結束時的結果稱為報酬。每位玩家的報酬不僅取決於他們自己選擇的策略，還取決於所有其他玩家所選擇的策略。因此，每位玩家的「報酬」是所有玩家所選策略集合的函數。

4. 結果：對於遊戲參與者來說，存在一個遊戲結果。

在《說謊者酒吧》中，玩家是參與者，策略涉及根據之前的出牌和其他玩家的行動選擇打牌或挑戰，而報酬/結果則決定一個人是強迫其他人拿槍還是自己拿槍。

博弈論中的一些有趣概念：

1. 奈許均衡 奈許均衡指的是所有參與者面對一種情況，在這種情況下，他們當前的策略在考慮到其他人的策略後是最優的。在奈許均衡下，沒有理性的參與者會單方面改變自己的策略。

著名的「囚徒困境」就是這一概念的例子。兩名小偷被分開審問。如果兩人都認罪，每人獲刑8年；如果一人認罪而另一人否認，認罪者將被釋放，而否認者則獲刑10年；如果兩人都否認，每人獲刑1年。

在這個困境中，「互相背叛」是一種奈許均衡。當A背叛時，B的最佳策略是背叛；當B背叛時，A的最佳策略也是背叛。儘管這一結果對他們來說是最糟的，但個體的理性驅使他們達成這一均衡。

2. 零和遊戲： 在零和遊戲中，在嚴格競爭的情況下，一名玩家的獲利恰好等於另一名玩家的損失，總和始終為「零」。沒有合作以獲得互利的可能性。

顯然，《說謊者酒吧》中的遊戲是零和遊戲——必須有贏家和輸家，沒有互相獲勝的可能性。

讓我們分析《說謊者酒吧》的撲克模式：

策略空間：

• 誠實遊戲：打牌並宣告真實的牌值（A、K、Q）。優勢包括遊戲流暢且無生命風險；劣勢包括可能錯過出牌機會。
• 欺騙遊戲：打牌並宣告虛假的牌值。這一策略可能獲得優勢，但如果被抓到則有冒險的風險。

應對策略：

• 挑戰策略：玩家可以挑戰其他人的宣告。成功的挑戰會迫使說謊者進入俄羅斯輪盤；失敗的挑戰可能損害信任。
• 不挑戰策略：接受他人的宣告可以保持遊戲流暢，但可能會讓欺騙成功。

報酬分析： 誠實遊戲的報酬：

• 面對誠實的對手：穩定的遊戲過程，逐步建立優勢
• 面對成功的說謊者：當前情況下可能處於劣勢

欺騙遊戲的報酬：

• 如果成功：快速的戰術優勢
• 如果被抓：面臨俄羅斯輪盤的風險，可能導致遊戲結束的後果

挑戰的報酬：

• 直接利益：成功的挑戰可能消除競爭對手或耗盡他們的安全出手
• 名譽利益：建立作為技術高超玩家的形象
• 遊戲控制利益：能夠影響遊戲的節奏和方向

挑戰的風險：

• 直接風險：如果挑戰失敗則面臨俄羅斯輪盤
• 信任損害：失敗的挑戰會損害可信度
• 策略暴露：可能揭示戰略傾向

奈許均衡分析：

1. 純策略奈許均衡

• 全誠實策略：可以形成均衡，因為偏離的風險是俄羅斯輪盤
• 全欺騙策略（理論上）：可能存在但在實踐中不穩定

2. 混合策略奈許均衡 假設兩名玩家的誠實遊戲概率為p和q： E1 = pq × Rhh + p(1-q) × Rhl + (1-p)q × Rlh + (1-p)(1-q) × Rll 其中R代表各種報酬組合。

3. 貝葉斯考量 玩家根據以下因素使用貝葉斯推理更新對對手誠實性的信念：

• 欺騙的先驗概率
• 牌的分佈知識
• 行為線索
• 宣告模式

例如，如果已經打出了許多A，新的A宣告可能會增加估計的欺騙概率，通過貝葉斯期望報酬計算影響挑戰決策。