Discusión sobre Teoría de Juegos en El Bar de los Mentirosos

La Teoría de Juegos es tanto una nueva rama de las matemáticas modernas como una disciplina importante en la investigación operativa.

La Teoría de Juegos incluye principalmente los siguientes elementos:

1. Jugadores: En una competencia o juego, cada participante con poder de decisión se llama jugador. Los juegos con solo dos jugadores se denominan "juegos de dos personas", mientras que aquellos con más de dos jugadores se llaman "juegos multijugador".

2. Estrategia: En un juego, cada jugador tiene un conjunto completo de planes de acción viables. Una estrategia no es solo un plan para una etapa específica, sino un plan integral que guía toda la acción. Si los jugadores tienen un número finito de estrategias, se llama "juego finito"; de lo contrario, se llama "juego infinito".

3. Pago: El resultado al final de un juego se llama el pago. El pago de cada jugador depende no solo de su propia estrategia elegida, sino también de las estrategias elegidas por todos los demás jugadores. Por lo tanto, el "pago" de cada jugador es una función del conjunto de estrategias elegidas por todos los jugadores.

4. Resultado: Para los participantes del juego, existe un resultado del juego.

En El Bar de los Mentirosos, los jugadores son los participantes, las estrategias implican elegir jugar cartas o desafiar en función de las jugadas anteriores y las acciones de otros jugadores, y los pagos/resultados determinan si uno obliga a los demás a tomar el arma o la toma él mismo.

Algunos conceptos interesantes en la Teoría de Juegos:

1. Equilibrio de Nash El Equilibrio de Nash se refiere a una situación en la que todos los participantes enfrentan un escenario donde su estrategia actual es óptima dado las estrategias de los demás. En el Equilibrio de Nash, ningún participante racional cambiaría unilateralmente su estrategia.

El famoso "Dilema del Prisionero" ejemplifica este concepto. Dos ladrones son interrogados por separado. Si ambos confiesan, cada uno recibe 8 años; si uno confiesa mientras el otro niega, el confesor queda libre mientras que el que niega recibe 10 años; si ambos niegan, cada uno recibe 1 año.

En este dilema, la "traición mutua" es un Equilibrio de Nash. Cuando A traiciona, la mejor estrategia de B es traicionar; cuando B traiciona, la mejor estrategia de A también es traicionar. Aunque este resultado es el peor para ellos colectivamente, la racionalidad individual los lleva a este equilibrio.

2. Juegos de Suma Cero: En los juegos de suma cero, bajo competencia estricta, la ganancia de un jugador es exactamente igual a la pérdida de otro, siendo la suma total siempre "cero". No hay posibilidad de cooperación para beneficio mutuo.

Claramente, los juegos en El Bar de los Mentirosos son juegos de suma cero: debe haber ganadores y perdedores, sin posibilidad de victoria mutua.

Analicemos el modo de póker de El Bar de los Mentirosos:

Espacio de Estrategia:

• Juego Honesto: Jugar cartas y declarar valores verdaderos (A, K, Q). Las ventajas incluyen un juego fluido sin riesgo de vida; las desventajas incluyen la posibilidad de perder oportunidades de juego.
• Juego Engañoso: Jugar cartas mientras se declaran valores falsos. Esta estrategia puede ganar ventajas pero arriesga una ruleta rusa si se es atrapado.

Estrategias de Respuesta:

• Estrategia de Desafío: Los jugadores pueden desafiar las declaraciones de otros. Los desafíos exitosos obligan a los mentirosos a una ruleta rusa; los desafíos fallidos pueden dañar la confianza.
• Estrategia de No Desafío: Aceptar las declaraciones de otros mantiene un juego fluido pero puede permitir que el engaño tenga éxito.

Análisis de Pagos: Pagos del Juego Honesto:

• Con oponentes honestos: Juego constante con acumulación gradual de ventajas
• Contra mentirosos exitosos: Posible desventaja en la situación actual

Pagos del Juego Engañoso:

• Si tiene éxito: Ventajas tácticas rápidas
• Si es atrapado: Riesgo de ruleta rusa, consecuencias potencialmente finales para el juego

Pagos del Desafío:

• Beneficios Directos: Desafíos exitosos pueden eliminar competidores o agotar sus disparos seguros
• Beneficios de Reputación: Construye una imagen como jugador hábil
• Beneficios de Control del Juego: Capacidad para influir en el ritmo y dirección del juego

Riesgos del Desafío:

• Riesgo Directo: Ruleta rusa si el desafío falla
• Daño a la Confianza: Desafíos fallidos dañan la credibilidad
• Exposición de Estrategia: Puede revelar tendencias estratégicas

Análisis del Equilibrio de Nash:

1. Equilibrio de Nash de Estrategia Pura

• Estrategia Todo-Honesto: Puede formar un equilibrio ya que la desviación arriesga la ruleta rusa
• Estrategia Todo-Engañoso (Teórica): Posible pero inestable en la práctica

2. Equilibrio de Nash de Estrategia Mixta Suponiendo dos jugadores con probabilidades p y q para el juego honesto: E1 = pq × Rhh + p(1-q) × Rhl + (1-p)q × Rlh + (1-p)(1-q) × Rll Donde R representa varias combinaciones de pagos.

3. Consideraciones Bayesianas Los jugadores actualizan sus creencias sobre la honestidad de los oponentes utilizando inferencia bayesiana basada en:

• Probabilidad previa de engaño
• Conocimiento de la distribución de cartas
• Señales de comportamiento
• Patrones de declaración

Por ejemplo, si se han jugado muchas Ases, una nueva declaración de As podría aumentar la probabilidad estimada de engaño, influyendo en las decisiones de desafío a través de cálculos de pago esperado bayesiano.