Discussion sur la Théorie des Jeux au Bar des Mensonges

La Théorie des Jeux est à la fois une nouvelle branche des mathématiques modernes et une discipline importante en recherche opérationnelle.

La Théorie des Jeux comprend principalement les éléments suivants :

1. Joueurs : Dans une compétition ou un jeu, chaque participant ayant le pouvoir de décision est appelé un joueur. Les jeux avec seulement deux joueurs sont appelés "jeux à deux personnes", tandis que ceux avec plus de deux joueurs sont appelés "jeux multijoueurs".

2. Stratégie : Dans un jeu, chaque joueur dispose d'un ensemble complet de plans d'action réalisables. Une stratégie n'est pas seulement un plan pour une étape spécifique, mais un plan global guidant l'ensemble de l'action. Si les joueurs ont un nombre fini de stratégies, on parle de "jeu fini" ; sinon, c'est un "jeu infini".

3. Gain : Le résultat à la fin d'un jeu est appelé le gain. Le gain de chaque joueur dépend non seulement de sa propre stratégie choisie, mais aussi des stratégies choisies par tous les autres joueurs. Par conséquent, le "gain" de chaque joueur est une fonction de l'ensemble des stratégies choisies par tous les joueurs.

4. Résultat : Pour les participants au jeu, il existe un résultat de jeu.

Dans le Bar des Mensonges, les joueurs sont les participants, les stratégies impliquent le choix de jouer des cartes ou de défier en fonction des jeux précédents et des actions des autres joueurs, et les gains/résultats déterminent si l'un force les autres à prendre le revolver ou le prend lui-même.

Concepts intéressants en Théorie des Jeux :

1. Équilibre de Nash
   L'Équilibre de Nash fait référence à une situation où tous les participants se trouvent dans un scénario où leur stratégie actuelle est optimale compte tenu des stratégies des autres. À l'Équilibre de Nash, aucun participant rationnel ne changerait unilatéralement sa stratégie.

Le célèbre "Dilemme du Prisonnier" illustre ce concept. Deux voleurs sont interrogés séparément. Si les deux avouent, chacun reçoit 8 ans ; si l'un avoue tandis que l'autre nie, l'avouant est libéré tandis que le négateur reçoit 10 ans ; si les deux nient, chacun reçoit 1 an.

Dans ce dilemme, la "trahison mutuelle" est un Équilibre de Nash. Lorsque A trahit, la meilleure stratégie de B est de trahir ; lorsque B trahit, la meilleure stratégie de A est également de trahir. Bien que ce résultat soit le pire pour eux collectivement, la rationalité individuelle les pousse vers cet équilibre.

2. Jeux à Somme Nulle :
   Dans les jeux à somme nulle, sous une compétition stricte, le gain d'un joueur est exactement égal à la perte d'un autre, avec la somme totale toujours égale à "zéro". Il n'y a aucune possibilité de coopération pour un bénéfice mutuel.

Il est clair que les jeux au Bar des Mensonges sont des jeux à somme nulle - il doit y avoir des gagnants et des perdants, sans possibilité de victoire mutuelle.

Analysons le mode poker du Bar des Mensonges :

Espace Stratégique :

• Jeu Honnête : Jouer des cartes et déclarer des valeurs vraies (A, K, Q). Les avantages incluent un jeu fluide sans risque pour la vie ; les inconvénients incluent la possibilité de manquer des opportunités de jeu.
• Jeu Trompeur : Jouer des cartes tout en déclarant de fausses valeurs. Cette stratégie peut offrir des avantages mais risque la roulette russe si elle est découverte.

Stratégies de Réponse :

• Stratégie de Défi : Les joueurs peuvent défier les déclarations des autres. Les défis réussis forcent les menteurs à entrer dans la roulette russe ; les défis échoués peuvent nuire à la confiance.
• Stratégie de Non-Défi : Accepter les déclarations des autres maintient un jeu fluide mais peut permettre à la tromperie de réussir.

Analyse des Gains : Gains du Jeu Honnête :

• Avec des adversaires honnêtes : Jeu régulier avec construction d'avantages progressifs
• Contre des menteurs réussis : Désavantage potentiel dans la situation actuelle

Gains du Jeu Trompeur :

• Si réussi : Avantages tactiques rapides
• Si découvert : Risque de roulette russe, conséquences potentiellement fatales pour le jeu

Gains du Défi :

• Avantages Directs : Les défis réussis peuvent éliminer des concurrents ou épuiser leurs coups sûrs
• Avantages de Réputation : Renforce l'image de joueur habile
• Avantages de Contrôle du Jeu : Capacité à influencer le rythme et la direction du jeu

Risques du Défi :

• Risque Direct : Roulette russe si le défi échoue
• Dommage à la Confiance : Les défis échoués nuisent à la crédibilité
• Exposition de Stratégie : Peut révéler des tendances stratégiques

Analyse de l'Équilibre de Nash :

1. Équilibre de Nash en Stratégie Pure

• Stratégie Tout-Honnête : Peut former un équilibre car la déviation risque la roulette russe
• Stratégie Tout-Trompeur (Théorique) : Possible mais instable en pratique

2. Équilibre de Nash en Stratégie Mixte
   En supposant deux joueurs avec des probabilités p et q pour le jeu honnête :
   E1 = pq × Rhh + p(1-q) × Rhl + (1-p)q × Rlh + (1-p)(1-q) × Rll
   Où R représente diverses combinaisons de gains.

3. Considérations Bayésiennes
   Les joueurs mettent à jour leurs croyances sur l'honnêteté des adversaires en utilisant l'inférence bayésienne basée sur :

• La probabilité antérieure de tromperie
• La connaissance de la distribution des cartes
• Les indices comportementaux
• Les modèles de déclaration

Par exemple, si de nombreux As ont été joués, une nouvelle déclaration d'As pourrait augmenter la probabilité estimée de tromperie, influençant les décisions de défi par le biais de calculs de gains attendus bayésiens.